Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面是菱形，.

（1）证明：；

（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，可证平面，得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）先根据已知条件证明平面以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，然后利用向量公式即可求得结果．

（1）连接交于点，连接，

∵四边形是菱形，∴且为中点，

∵，，∴平面，

平面，∴，

为中点，为的垂直平分线，

∴.

（2）不妨设，则，，

∵，∴，，

又，，∴平面

（方法一）以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面的一个法向量为，则

，

，设，

直线与平面所成角的正弦值，即直线与平面所成角的正弦值为

（方法二）设点到平面的距离为，

三棱锥的体积

三棱锥的体积

解，得

直线与平面所成角的正弦值，即直线与平面所成角的正弦值为.