Question

在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600无后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需要各种开支2 000元．

（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

Answer 1

(1) 19.5元，450元；（2）20年.

试题分析：(1) 首先应用待定系数法根据已知图形求出月销量Q(百件)与销售价格P（元）的关系式,显然是一个分段函数;再将些函数代入该店月利润余额为L(元)(由题意可得得L=Q（P-14）×100-3600-2000),从而月利润余额是关于价格P的一个分段函数;每一段又都是一个关于P的二次函数,利用配方法求出各段的最大,取两个最大值中的最大者即为所求;此问题注意统一单位;（2）设最早可望在n年后脱贫，由(1)可知月利润扣除职工最低生活费的余额最大值，则可计算得每年的余额值乘以n后大于或等于债务：50000+58000即可，解此不等式可得问题答案．注意要将数学解答的结果还原成实际应用问题的答案．
试题解析：设该店月利润余额为L，则由题设得L=Q（P-14）×100-3600-2000，    ①
由销量图易得
=       
代入①式得L=
    
(1)当时，=450元，此时元，当20<P≤26时，L_max=元，此时P=元。故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元，
（2）设可在n年内脱贫，
依题意有解得   n≥20
即最早可望在20年后脱贫