Question

（2013•日照二模）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

A．（-2，+∞）

B．（0，+∞）

C．（1，+∞）

D．（4，+∞）

Answer 1

分析：构造函数g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解

解答：解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=2对称
∴f（4）=f（0）
又∵f（4）=1，∴f（0）=1
设g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），则g′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
又∵g（0）=

f(0)

e0

=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故选B．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．