题目内容
已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（ ）
分析：首先构造函数g(x)=
，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
| f(x) |
| ex |
解答：解：∵y=f（x+1）为偶函数
∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=1对称
∴f（2）=f（0）
又∵f（2）=1
∴f（0）=1
设g(x)=
（x∈R），
则g′(x)=
=
又∵f′（x）＜f（x）
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0
∴y=g（x）单调递减
∵f（x）＜ex
∴
＜1
即g（x）＜1
又∵g(0)=
=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）
∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=1对称
∴f（2）=f（0）
又∵f（2）=1
∴f（0）=1
设g(x)=
| f(x) |
| ex |
则g′(x)=
| f′(x)ex-f(x)ex |
| (ex)2 |
| f′(x)-f(x) |
| ex |
又∵f′（x）＜f（x）
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0
∴y=g（x）单调递减
∵f（x）＜ex
∴
| f(x) |
| ex |
即g（x）＜1
又∵g(0)=
| f(0) |
| e0 |
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）
点评：本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属较难题
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