题目内容
已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为 ．
分析：令g(x)=
，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得g（0）=1，即可得出．
| f(x) |
| ex |
解答：解：令g(x)=
，
则g′(x)=
=
，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在R上单调递减．
∵函数f（x+2）是偶函数，
∴函数f（-x+2）=f（x+2），
∴函数关于x=2对称，
∴f（0）=f（4）=1，
原不等式等价为g（x）＜1，
∵g（0）=
=1．
∴g（x）＜1?g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上单调递减，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜ex的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
| f(x) |
| ex |
则g′(x)=
| f′(x)ex-f(x)ex |
| (ex)2 |
| f′(x)-f(x) |
| e2 |
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在R上单调递减．
∵函数f（x+2）是偶函数，
∴函数f（-x+2）=f（x+2），
∴函数关于x=2对称，
∴f（0）=f（4）=1，
原不等式等价为g（x）＜1，
∵g（0）=
| f(0) |
| e0 |
∴g（x）＜1?g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上单调递减，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜ex的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性，属于难题．
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