Question

20．在第一象限内，求曲线y=-x²+1上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的面积最小．

Answer 1

分析 先求出切线方程，再表示出面积，利用导数求最小值，即可得出结论．

解答 解：设切点P（t，-t²+1）（t＞0）
由y=-x²+2得y'=-2x，
∴k_l=-2t，
∴l的方程为：y-（-t²+1）=-2t（x-t）
令y=0，得x=$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$，令x=0，得y=t²+1，
∴S（t）=$\frac{1}{2}$×$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$×（t²+1）-${∫}_{0}^{1}$（-x²+1）dx=$\frac{1}{4}$（t³+2t+$\frac{1}{t}$）-$\frac{2}{3}$
∴S′（t）=$\frac{（{t}^{2}+1）（3{t}^{2}-1）}{4{t}^{2}}$，
∴0＜t＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，S′（t）＜0，函数单调递减，t＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，S′（t）＞0，函数单调递增，
∴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，S（t）取得最小值，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）为所求点．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性、最小值，属于中档题．