题目内容

10.已知y=f(x)是定义域为R的单调函数,且x1≠x2,λ≠-1,α=$\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ},β=\frac{{{x_2}+λ{x_1}}}{1+λ}$,若|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|,则(  )
A.λ<0B.λ=0C.0<λ<1D.λ>1

分析 此题主要根据函数的单调函数,分类讨论,将比较函数值的大小转化为比较自变量的大小,然后建立不等关系,解之即可.

解答 解:不妨设y=f(x)是定义在R上的单调减函数,由|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|,
求得|α-β|>|x1-x2|①.
将α=$\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ},β=\frac{{{x_2}+λ{x_1}}}{1+λ}$,代入①得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|•|x1-x2|>|x1-x2|,而x1≠x2,可得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|>1,
即:|1-λ|>|1+λ|,两边平方,求得λ<0.
当y=f(x)是定义在R上的单调增函数时,由|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|,
求得|α-β|>|x1-x2|②.
将α=$\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ},β=\frac{{{x_2}+λ{x_1}}}{1+λ}$,代入②得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|•|x1-x2|>|x1-x2|,而x1≠x2,可得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|>1,
即:|1-λ|>|1+λ|,两边平方求得,求得λ<0.
综上可得,λ<0.
故选:A.

点评 本题主要考查了函数的单调性的知识,以及函数与方程的综合运用,体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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