Question

（2009•潍坊二模）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中各棱长均为a，F、M分别为A₁C₁、CC₁的中点．求证：
（I）BC₁∥平面AFB₁
（Ⅱ）A₁M⊥平面AFB₁．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的中位线证明EF∥BC₁，再利用线面平行的判定，即可得到结论；
（Ⅱ）先利用面面垂直，得到B₁F⊥平面AA₁C₁C，从而可得B₁F⊥A₁M，再证明A₁M⊥AF，利用线面垂直的判定可证结论．

解答：证明：（I）连接A₁B交AB₁于E，连接EF，
∵EF为△A₁BC₁的中位线，
∴EF∥BC₁，
又∵EF?平面AB₁F，BC₁ ?平面AB₁F
∴BC₁∥平面AB₁F，
（Ⅱ）在正三棱柱中，∵B₂F⊥A₁C₁，面A₁C₁B₁⊥面ACC₁A₁，
∴B₁F⊥平面AA₁C₁C，
∵A₁M?平面AA₁C₁C，
∴B₁F⊥A₁M，
在△AA₁F中，tan∠AFA1=

AA1

A1F

=2，
在△A₁MC₁中，tan∠A1MC1=

A1C1

MC1

=2
∴∠AFA₁=∠A₁MC₁，
又∵∠A₁MC₁+∠MA₁C₁=90°，
∴∠AFA₁+∠MA₁C₁=90°，
∴A₁M⊥AF，
又∵AF∩B₁F=F，
∴A₁M⊥平面AFB₁．

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．