题目内容
（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=-2sinx•cosx+2cos2x+1．
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位使所得函数的图象关于点（0，2）对称，求m的最小值．
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位使所得函数的图象关于点（0，2）对称，求m的最小值．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为
cos（2x+
）+2，由f（x）-1=0求得cos（2x+
）=-
，再根据x∈（0，π），求得x1和x2的值，即可求得x1+x2的值．
（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，根据y=g（x）的图象关于点（0，2）对称，求得mm=
+
，k∈Z，从而求得m的最小值．
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，根据y=g（x）的图象关于点（0，2）对称，求得mm=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
解答：解：（1）由题设f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=
cos（2x+
）+2，…（2分）
∵f（x）-1=0，∴
cos（2x+
）+1=0，…（3分）
∴cos（2x+
）=-
．…（4分）
由2x+
=2kπ+
π或2x+
=2kπ+
π，k∈Z，求得x=kπ+
或x=kπ+
．…（5分）
∵x∈（0，π），∴x1=
，x2=
，∴x1+x2=
π．…（6分）
（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=
cos（2x+
+2m）+2，…（8分）
∵y=g（x）的图象关于点（0，2）对称，
∴2m+
=kπ+
，k∈Z．…（10分）
∴2m=kπ+
，k∈Z．
∴m=
+
，k∈Z．…（11分）
∵m＞0，
∴k=0时，m取得最小值
．…（12分）
| 2 |
| π |
| 4 |
∵f（x）-1=0，∴
| 2 |
| π |
| 4 |
∴cos（2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
由2x+
| π |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∵x∈（0，π），∴x1=
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
∵y=g（x）的图象关于点（0，2）对称，
∴2m+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴2m=kπ+
| π |
| 4 |
∴m=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
∵m＞0，
∴k=0时，m取得最小值
| π |
| 8 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，余弦函数的对称性，属于基础题．
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