题目内容
已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量
+K
+(2-K)
=
（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S△BOC表示△BOC的面积）
（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S△BOC：S△AOC：S△AOB．
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S△BOC：S△AOC：S△AOB．
（1）由
+K
+(2-K)
=
得k
+(2-k)
=-
两边平方，得k2+（2-k）2+2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得cos(β-γ)=
=1+
当k∈（0，2）时，k2-2k∈[-1，0），
∈(-∞，-
]，1+
∈(-∞，-
]
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴cos(β-γ)∈[-1，-
]
当k=1时，cos（β-γ）取得最大值-
；
当k=
或k=
时，cos（β-γ）取得最小值-1．
（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值-
时，k=1
此时，
+
+
=
且
与
的夹角为120°．
又|
|=|
|=|
|，(
+
)2=
2+
2+2
•
=1?
•
=-
∴
与
的夹角为120°．
故S△BOC：S△AOC：S△AOB=1：1：1．
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
| OB |
| OC |
| OA |
两边平方，得k2+（2-k）2+2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得cos(β-γ)=
| 2k2-4k+3 |
| 2k2-4k |
| 3 |
| 2(k2-2k) |
当k∈（0，2）时，k2-2k∈[-1，0），
| 3 |
| 2(k2-2k) |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2(k2-2k) |
| 1 |
| 2 |
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴cos(β-γ)∈[-1，-
| 1 |
| 2 |
当k=1时，cos（β-γ）取得最大值-
| 1 |
| 2 |
当k=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值-
| 1 |
| 2 |
此时，
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
| OB |
| OC |
又|
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
∴
| OA |
| OB |
故S△BOC：S△AOC：S△AOB=1：1：1．
练习册系列答案
相关题目
+k
+(2-k)
=0(k为常数，且0＜k＜2
,求cos(β-γ)的最大值、最小值及相应的k值.
（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S△BOC表示△BOC的面积）
（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S△BOC表示△BOC的面积）