Question

6．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D=$\{\overrightarrow a|\overrightarrow a=（x，y），x∈R，y∈R\}$上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量$\overrightarrow{a_1}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{a_2}=（{x_2}，{y_2}）$，$\overrightarrow{a_1}＞\overrightarrow{a_2}$当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．
按上述定义的关系“＞”，给出如下四个命题：
①若$\overrightarrow{e_1}=（1，0），\overrightarrow{e_2}$=（0，1），$\overrightarrow 0=（0，0）$则$\overrightarrow{e_1}＞\overrightarrow{e_2}$＞$\overrightarrow 0$；
②若$\overrightarrow{a_1}＞\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_2}＞\overrightarrow{a_3}$，则$\overrightarrow{a_1}＞\overrightarrow{a_3}$；
③若$\overrightarrow{a_1}＞\overrightarrow{a_2}$，则对于任意$\overrightarrow a∈D$，$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow a＞\overrightarrow{a_2}$+$\overrightarrow a$；
④对于任意向量$\overrightarrow{a}＞\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow 0=（0，0）$，若$\overrightarrow{a_1}＞\overrightarrow{a_2}$，则$\overrightarrow a•\overrightarrow{a_1}＞\overrightarrow a•\overrightarrow{a_2}$．
其中真命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 根据已知中任意两个向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，逐一判断四个结论的真假，可得答案

解答 解：∵任意两个向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$?“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
∵若$\overrightarrow{{e}_{1}}\stackrel{\;}{\;}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overline{0}$=（0，0），则$\overrightarrow{{e}_{1}}\stackrel{\;}{\;}$＞$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞$\overline{0}$，故①正确；
设$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（x₃，y₃），
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
由$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，得“x₂＞x₃”或“x₂=x₃且y₂＞y₃”
若“x₁＞x₂＞x₃”，则$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$；
若“x₁＞x₂”，且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，则“x₁＞x₃”，所以$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，
若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂＞x₃”，则x₁＞x₃，所以$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，
若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，则x₁=x₃且y₁＞y₃，所以$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，
综上所述，若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，则$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，所以②正确
设$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{a}$=（x，y），则
$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$=（x₁+x，y₁+y），$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$=（x₂+x，y₂+y），
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
若x₁＞x₂，则x₁+x＞x₂+x，所以$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$；
若x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂，则x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，所以$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$；
综上所述，若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，则对于任意$\overrightarrow{a}$∈D，$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$；
所以③正确
（4）设$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{a}$=（x，y），
由$\overrightarrow{a}$＞$\overline{0}$，得“x＞0”或“x=0且y＞0”
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
若“x=0且y＞0”且“x₁＞x₂且y₁＜y₂”，则“xx₁=xx₂且yy₁＜yy₂”，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$不成立．
所以④不正确
综上所述，①②③正确，
故答案为：①②③

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“》”．正确理解新定义“》”的实质，是解答的关键．