Question

5．如图，在△ABC中，G为重心，在AD的延长线上取一点G′，使得GD=G′D=4，若CG=6，BG=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用三角形重心的性质得到三角形AGF，BFG，CDG，BDG的面积与三角形ACG面积的关系即可．

解答 解：由题意，BC与GG'互相平分，所以四边形BGCG'为平行四边形，所以BG'=CG=6，GG'=8，CG=10，所以CG⊥GG'，又在△ABC中，G为重心，所以${S}_{△ACG}=2{S}_{△CDG}=\frac{1}{2}AG×CG$=$\frac{1}{2}×8×6$=24，
${S}_{△AFG}=\frac{1}{2}AG×GF$=$\frac{1}{2}×8×3$=12，
GF=3=$\frac{1}{2}$BG'，所以${S}_{△GFB}=\frac{1}{2}{S}_{△BGG'}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}GG'×BG'$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×8×6$=12，所以${S}_{△BDG}=\frac{1}{2}{S}_{△BGG'}$=12，
所以△ABC的面积为S_△ACG+S_△AFG+S_△CDG+S_△BDG+S_△GFB=24+12+12+12+12=72．

点评 本题考查了三角形面积的求法，关键是三角形重心性质的运用．