题目内容
如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
(1)
+
=1
(2) 




解:(1)设椭圆的标准方程为



由


即bc=8.①
又△AB1B2是直角三角形,
且|OB1|=|OB2|,∴b=

由①②可得b=2,c=4.
∴a2=20.
∴椭圆的标准方程为




(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).
由题意知,直线PQ的倾斜角不为0,
故可设直线PQ的方程为x=my-2.
代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则y1,y2是方程(*)的两根.
∴y1+y2=


又


∴


=(my1-4)(my2-4)+y1y2
=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=-


=-

由PB2⊥B2Q知


即-

16m2-64=0,解得m=±2.
当m=2时,y1+y2=


|y1-y2|=





当m=-2时,由椭圆的对称性可得


综上所述,△PB2Q的面积为


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