题目内容
已知椭圆C：
＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证： k·k′为定值．
＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证： k·k′为定值．
（1）
＝1（2）－
＝1（2）－(1)解 由条件知a＝2，b＝
，故所求椭圆方程为＝1.
(2)证明 设过点F2(1,0)的直线l方程为：y＝k(x－1)，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)，将直线l方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程＝1，整理得：(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为点F2在椭圆内，所以直线l和椭圆相交，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝
，x1x2＝
.
直线AE的方程为：y＝
(x－2)，直线AF的方程为：y＝
(x－2)，令x＝3得点M
，N
，∴点P坐标为
，
直线PF2的斜率为k′＝
＝
＝
·
.
将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：
k′＝
＝
.
所以k·k′为定值－.
，故所求椭圆方程为＝1.(2)证明 设过点F2(1,0)的直线l方程为：y＝k(x－1)，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)，将直线l方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程
＝1，整理得：(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为点F2在椭圆内，所以直线l和椭圆相交，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝，x1x2＝.直线AE的方程为：y＝
(x－2)，直线AF的方程为：y＝(x－2)，令x＝3得点M，N，∴点P坐标为，直线PF2的斜率为k′＝
＝＝·.将x1＋x2＝
，x1x2＝代入上式得：k′＝
＝.所以k·k′为定值－
.
练习册系列答案
相关题目
的方程为
，过抛物线
(
)作斜率为
的两条直线分别交抛物线
两点(
三点互不相同)，且满足
（
且
）．
上一点
，满足
，证明线段
的中点在
轴上；
=1时，若点
的坐标为
，求
为钝角时点
的纵坐标
的取值范围.
的直线m交双曲线于M、N两点，期中
，F2是双曲线的右焦点，求△F2MN的面积S关于倾斜角
、
，动点
满足：
，且
的方程；
的切线
与轨迹
.
，左、右两个焦点分别为
、
，上顶点
，
为正三角形且周长为6，直线
与椭圆
相交于
两点.
的取值范围.
的顶点在坐标原点
，对称轴为
轴，焦点为
,抛物线上一点
的横坐标为2，且
.
作直线
交抛物线于
，
.
：
经过如下五个点中的三个点：
，
，
，
，
.
为椭圆
为椭圆
的外部，且