题目内容

9.从双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为(  )
A.|MO|-|MT|>b-aB.|MO|-|MT|=b-aC.|MP|-|MT|<b-aD.不确定

分析 将点P置于第一象限.设F1是双曲线的右焦点,连接PF1.由M、O分别为FP、FF1的中点,知|MO|=$\frac{1}{2}$|PF1|.由双曲线定义,知|PF|-|PF1|=2a,|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b.由此知|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$(|PF1|-|PF|)+|FT|=b-a.

解答 解:将点P置于第一象限.
设F1是双曲线的右焦点,连接PF1
∵M、O分别为FP、FF1的中点,∴|MO|=$\frac{1}{2}$|PF1|.
又由双曲线定义得,
|PF|-|PF1|=2a,
|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b.
故|MO|-|MT|
=$\frac{1}{2}$|PF1|-|MF|+|FT|
=$\frac{1}{2}$(|PF1|-|PF|)+|FT|
=b-a.
故选:B.

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

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