Question

已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（

π

4

），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x³上一点P（a，b）的切线方程为

3x-y-2=0

．

Answer 1

分析：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=

π

4

代入导函数即可求出a的值，然后由曲线的方程求出曲线的导函数，把x=1代入导函数即可求出切线的斜率，把x=1代入曲线方程中即可求出切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可．

解答：解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3-2sin2x+2cos2x，
且由y=x³，得到y′=3x²，
则a=f′(

π

4

)=3-2sin

π

2

+2cos

π

2

=1，
把x=1代入y′=3x²中，解得切线斜率k=3，
且把x=1代入y=x³中，解得y=1，所以切点P的坐标为（1，1），
所以由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
故答案为：3x-y-2=0．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．