题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
,
.
(1)证明:;
(2)若,在线段
上是否存在一点
,使二面角
的余弦值为
?若存在,求
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,
【解析】
(1)取的中点
,连接
,由题可得
为等边三角形,则
,利用平行的传递性可得
,则
平面
,进而
,由三角形的性质即可得证;
(2)设,则
,易得以
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,设
,由平面
的法向量
和平面
的法向量
,利用数量积求得夹角,进而求解即可.
(1)证明:取的中点
,连接
,
∵,
,
∴为等边三角形,∴
,
又∵,
,∴
,
又,∴
平面
,
又平面
,∴
,
∵为
中点,∴
(2)存在,
设,则
,
∵,∴
,又
,∴
,
以为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,
因为在线段
上,设
,
则,
设平面的法向量为
,则由
,即
,
取,则
,
易知平面的法向量为
,
当,即
时,二面角
的平面角为
,
则,解得
或
(舍),
所以存在点满足条件,这时
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