题目内容
已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（
）=1．
（1）求f（1）与f（3）；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
| 1 | 3 |
（1）求f（1）与f（3）；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
分析：（1）取x=y=1，结合题中等式解出f（1）=0．再令1=3×
代入，算出f（3）+f（
）=0，可得f（3）=-1；
（2）由2=1+1结合1=f（
）算出f（
）=2，从而将原不等式化成f[x（2-x）]＜f（
），结合函数的单调性与定义域建立关于x的不等式组，解之即可得出x的取值范围．
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（2）由2=1+1结合1=f（
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解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
因此，f（1）=f（3×
）=f（3）+f（
）=0，可得f（3）=-f（
）=-1；
（2）∵2=1+1=f（
）+f（
）=f（
×
）=f（
）
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2可化为f[x（2-x）]＜f（
），
由f（x）为（0，+∞）上的减函数，得
，解之得1-
＜x＜1+
，
∴x的取值范围为（1-
，1+
）．
∴f（1）=0．
因此，f（1）=f（3×
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（2）∵2=1+1=f（
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∴不等式f（x）+f（2-x）＜2可化为f[x（2-x）]＜f（
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由f（x）为（0，+∞）上的减函数，得
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∴x的取值范围为（1-
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点评：本题给出抽象函数，研究函数的特殊的函数值并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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