Question

【题目】若函数在处有极小值，则实数等于__________.

Answer 1

【答案】1

【解析】

由f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，知f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，由f（x）在x＝1处取得极小值，知f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，由此能求出a，再根据条件检验即可.

∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，

∴f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，

∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x在x＝1处取得极小值，

∴f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，

解得a＝1或a＝﹣4，

又当a=-4时，f′（x）＝-12x2﹣4x+16=-4（x-1）(3x+4)，此时f（x）在（上单增，在（1，上单减，所以x=1时取得极大值，舍去；

又a=1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1=（x-1）(3x-1)，此时f（x）在（上单减，在（1，上单增，符合在x＝1处取得极小值，

所以a＝1．

故答案为：1