题目内容

（2012•黄浦区一模）已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
2
倍后得到点Q（x，
2
y）满足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为-
2
2
的直线l交曲线C于M、N两点，且满足
OM
+
ON
+
OH
=
0
，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
分析：（1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用
AQ
•
BQ
=1，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．
解答：解：（1）依据题意，有
AQ
=(x+1，
2
y)，
BQ
=(x-1，
2
y)
∵
AQ
•
BQ
=1，
∴x2-1+2y2=1．
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是
x2
2
+y2=1．
（2）因直线l过点B，且斜率为k=-
2
2
，故有l：y=-
2
2
(x-1)．
联立方程组
x2
2
+y2=1
y=-
2
2
(x-1)
，得2x2-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），
∴x1+x2=1，y1+y2=
2
2
．
又
OM
+
ON
+
OH
=
0
，点G与点H关于原点对称，
于是，可得点H（-1，-
2
2
）、G（1，
2
2
）．
若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y-
2
4
=
2
（x-
1
2
），l2：y=-
2
x．
联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（
1
8
，-
2
8
）．
因此，可算得|O1H|=
(
9
8
)2+(
3
2
8
)2
=
3
11
8
，|O1M|=
(x1-
1
8
)2+(y1+
2
8
)2
=
3
11
8
．
所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（
1
8
，-
2
8
），半径为
3
11
8
．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键．
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π
2
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3
5
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-
33
65
-
33
65
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2
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3
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-
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2
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1
2
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2
倍后得到点Q（x，
2y
）满足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为-
2
2
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+
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+
OH
=
0
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