题目内容

动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点,O为坐标原点,设S=|OP|2,若x=2时,S取极小值,求S的最小值.

思路分析:本题通过建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,然后利用函数求函数的最值.

解:S=|OP|2=x2+y2=x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1,

则S′=4x3-12x2+6x+4=2(x-2)(2x2-2x-1)=4(x-2)(x-)(x-).

令S′=0,则x1=,x2=,x3=2.

当x变化时,S′,S的变化情况如下表:

x

(-∞,)

(,)

(,2)

2

(2,+∞)

S′

-

0

+

0

-

0

+

S

?↘

极小值

?↗

极大值

↘?

极小值

↗?

∵S的定义域为(-∞,+∞),

∴所求的最小值是两个极小值中较小的一个.

∵当x=时,S=()4-4()3+3()2+4()+1=,

当x=2时,S=24-4×23+3×22+4×2+1=5,

∴S的最小值为.


练习册系列答案
相关题目
在空间直角坐标系O-xyz中，
OP
=x
i
+y
j
+z
k
（其中
i
，
j
，
k
分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：
①若
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x＞0，y＞0)且|
OP
-4
j
|=|
OP
+2
i
|，则
1
x
+
2
y
的最小值为2
2

②若
OP
=0
i
+y
j
+z
k
，
OQ
=0
i
+y1
j
+
k
，若向量
PQ
与
k
共线且|
PQ
|=|
OP
|，则动点P的轨迹是抛物线；
③若
OM
=a
i
+0
j
+0
k
，
OQ
=0
i
+b
j
+0
k
，
OR
=0
i
+0
j
+c
k
(abc≠0)，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式
x
a
+
y
b
+
z
c
=1；
④设
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x∈[0，4]，y∈[-4，4])，
OM
=0
i
+y1
j
+
k
(y1∈[-4，4])，
ON
=x2
i
+0
j
+0
k
(x2∈[0，4])，若向量
PM
⊥
j
，
PN
与
j
共线且|
PM
|=|
PN
|，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．
其中你认为正确的所有命题的序号为
②③④
②③④
．
已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是(　　)

A.圆         B.椭圆       C.双曲线         D.抛物线

已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是(    )

A.圆              B.椭圆               C.双曲线               D.抛物线

在空间直角坐标系O-xyz中，（其中i、j、k分别为X轴、y轴、z轴正方向上的单位向量).有下列命题：

①若且，则的最小值为；

②设，若向量与k共线且，则动点P的轨迹是抛物线；

③若，则平面MQR内的任意一点A (x,y，z)的坐标必然满足关系式；

④设，，若向量与j共线且，则动点P的轨迹是双曲线的一部分.    其中你认为正确的所有命题的序号为. _______

 

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