题目内容
【题目】已知函数的最小值为
.
⑴设,求证:
在
上单调递增;
⑵求证: ;
⑶求函数的最小值.
【答案】⑴见解析⑵见解析⑶见解析
【解析】试题分析:(1)先求导求出,再求导,利用导数的符号变换得到函数
的单调区间;(2)由⑴可知
在
上单调递增,再利用零点存在定理及函数的单调性进行求解;(3)分离参数,合理构造,利用导数研究函数的最值.
试题解析:⑴
∵
∴在
上单调递增
⑵由⑴可知在
上单调递增
∵
∴存在唯一的零点,设为
,则
且
当时,
;当
时,
从而在
上单调递增,在
上单调递减
所以的最小值
∵ ∴
∴
∴(当且仅当
时取等号)
∵
∴
(第二问也可证明,从而得到
)
⑶
同⑴方法可证得在
上单调递增
∵
∴
∴存在唯一的零点,设为
,则
且
所以的最小值为
∵ ∴
∴,即
由⑵可知
∴=
∵在
上单调递增
∴
所以的最小值为
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