题目内容
已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于30°，SA=2．那么三棱锥 S-ABC 的体积为
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分析：作BH⊥SC于E，设S在面ABC内射影为O，则O为△ABC的垂心，且为△ABC的中心，可证∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，进而利用体积公式，可得结论．
解答：
解：由题设，AH⊥面SBC，作BH⊥SC于E．
由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB，所以SC⊥面ABE．
设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．
由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．
同理，BO⊥AC，故O为△ABC的垂心．
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=2．
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．
所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，
∴OC=SCcos60°=1，
∴SO=
tan60°=
．
又OC=
AB，故AB=
OC=
．
所以，VS-ABC=
．
解：由题设，AH⊥面SBC，作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB，所以SC⊥面ABE．
设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．
由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．
同理，BO⊥AC，故O为△ABC的垂心．
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=2．
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．
所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，
∴OC=SCcos60°=1，
∴SO=
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所以，VS-ABC=
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点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查三垂线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知三棱锥S-ABC中，平面ASC⊥平面ABC，O、D分别为AC、AB的中点，AS=CS=CD=AD=