题目内容
已知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanB=
，
（I）求∠B；
（II）求函数f（x）=sinx+2sinBcosx，（x∈[0，
]）的最小值及单调递减区间．
| ||
| a2+c2-b2 |
（I）求∠B；
（II）求函数f（x）=sinx+2sinBcosx，（x∈[0，
| π |
| 2 |
分析：（I）在锐角△ABC中，由tanB=
=
=
，求得sinB的值，即可求得B的值．
（II）利用两角和差的正弦公式化简 函数f（x）的解析式2sin（x+
），再根据正弦函数的定义域和值域求得它的最小值，令 2kπ+
≤x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，
即可求得函数的减区间．
| ||
| a2+c2-b2 |
| ||
| 2ac•cosB |
| ||
| 2cosB |
（II）利用两角和差的正弦公式化简 函数f（x）的解析式2sin（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
即可求得函数的减区间．
解答：解：（I）在锐角△ABC中，∵tanB=
=
=
，∴sinB=
，B=
．
（II）∵函数f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+
cosB=2sin（x+
），x∈[0，
]，∴x+
∈[
]，
故当x+
=
时，2sin（x+
）取得最小值为 2×
=1．
令 2kπ+
≤x+
≤2kπ+
，k∈z，求得 2kπ+
≤x≤2kπ+
，k∈z．
故函数的减区间为[2kπ+
，2kπ+
]，k∈z．
| ||
| a2+c2-b2 |
| ||
| 2ac•cosB |
| ||
| 2cosB |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
（II）∵函数f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
故当x+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
令 2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
故函数的减区间为[2kπ+
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域及其单调性，属于中档题．
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