题目内容
已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b-2c）cosA=a-2acos2
．
（1）求角A的值；
（2）若a=
，则求b+c的取值范围．
| B |
| 2 |
（1）求角A的值；
（2）若a=
| 3 |
分析：（1）在锐角△ABC中，根据条件利用正弦定理可得 （sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），化简可得cosA
=
，由此可得A的值．
（2）由正弦定理可得
=
=
=2，可得 b=2（sinB+sinC）=2
sin（B+
）．
再由
，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围．
=
| 1 |
| 2 |
（2）由正弦定理可得
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
| 3 |
| π |
| 6 |
再由
|
解答：解：（1）在锐角△ABC中，根据（b-2c）cosA=a-2acos2
，利用正弦定理可得
（sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），
化简可得cosA=
，∴A=
．
（2）若a=
，则由正弦定理可得
=
=
=2，
∴b=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（
-B）]=3sinB+
cosB=2
sin（B+
）．
由于
，求得
＜B＜
，∴
＜B+
＜
．
∴sin（B+
）∈（
，1]，∴b+c∈（3，2
]．
| B |
| 2 |
（sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），
化简可得cosA=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）若a=
| 3 |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
∴b=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由于
|
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴sin（B+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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