题目内容

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）当
m
∥
n
时，求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值；
（2）设函数f（x）=（
m
+
n
）•
m
，求f（x）的单调增区间；
（3）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，
3
c=2asin（A+B），对于（2）中的函数f（x），求f（B+
π
8
）的取值范围．
分析：（1）利用向量共线的条件，可得3sinx=-cosx，代入，即可得到结论；
（2）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；
（3）求出A的值，确定B的范围，化简函数，可得函数的值域．
解答：解：（1）∵向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)，
m
∥
n

∴3sinx=-cosx，
∴
sinx+cosx
3sinx-2cosx
=
sinx-3sinx
3sinx+6sinx
=-
2
9
；
（2）函数f（x）=（
m
+
n
）•
m
=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）=sin2x+sinxcosx-2
=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x-2=
2
sin（2x-
π
4
）-
3
2

由2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
，可得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8

∴f（x）的单调增区间为[kπ-
π
8
，kπ+
3π
8
]（k∈Z）；
（3）∵
3
c=2asin（A+B），
∴
3
sinC=2sinAsinC，
∴sinA=
3
2

∵A∈（0，π），∴A=
π
3

∵△ABC为锐角三角形，∴
π
6
＜B＜
π
2

f（B+
π
8
）=
2
2
sin[2（B+
π
8
）-
π
4
]-
3
2
=
2
2
sin2B-
3
2

∵
π
6
＜B＜
π
2
，∴
π
3
＜2B＜π
∴0＜sin2B≤1
∴-
3
2
＜f（B+
π
8
）≤
2
2
-
3
2
．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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