Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值-

4

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）通过求函数的导数，函数f（x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为-

4

3

，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

对x∈[-4，3]恒成立，只要f(x)max≤m2+m+

10

3

就可以了，

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²+a，由f′（2）=0得a=-4
由f(2)=-

4

3

得b=4则f(x)=

1

3

x3-4x+4，令f′（x）=x²-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由f(-4)=-

4

3

，f(-2)=

28

3

，f(2)=-

4

3

，f(3)=1
则

28

3

≤m2+m+

10

3

f(x)的最大值为

28

3

，
要使

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

对x∈[-4，3]恒成立，只要f(x)max≤m2+m+

10

3

就可以了，
即

28

3

≤m2+m+

10

3

得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2

点评：本题考查待定系数法求函数解析式，函数恒成立问题，利用导数研究函数的极值，是中档题．