Question

【题目】已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) 圆：. (2)证明见解析；，.

【解析】

（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的方程.（2）设出点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过，，三点的圆是以为直径的圆.设出圆上任意一点的坐标，利用，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程，根据方程过的定点与无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.

解：（1）设圆心，

则圆心到直线的距离.

因为圆被直线截得的弦长为

∴.

解得或（舍），∴圆：.

（2）已知，设，

∵为切线，∴，∴过，，三点的圆是以为直径的圆.

设圆上任一点为，则.

∵，，∴

即.

若过定点，即定点与无关

令

解得或，所以定点为，.