Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若首项a₁=，公差d=1．求满足的正整数k；
（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），由得，又k是正整数，所以k=4．
（Ⅱ）设数列的公差为d，则在中分别取k=1，2得，由此能求出只有3个满足条件的无穷等差数列．
解答：解：（Ⅰ）∵首项a₁=，公差d=1．
∴，
由得，
即，
∵k是正整数，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）设数列的公差为d，
则在中分别取k=1，和k=2得，
即
由①得a₁=0或a₁=1，
当a₁=0时，代入②得d=0或d=6．若a₁=0，d=0则本题成立；
若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知S₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意；
当a₁=1时，代入②得4+6d=（2+d）²，
解得d=0或d=2．
若a=1，d=0则a_n=1，S_n=n从而成立；
若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=n²，
从而成立．
综上所述，只有3个满足条件的无穷等差数列：
①a_n=0； ②a_n=1；③a_n=2n-1．
点评：本题考查等差数列的性质和应用，具体涉及到等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化