Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n，求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有Sk3=(Sk)3成立．

Answer 1

分析：先由k=1，k=2时，确定首项和公差，再验证每一组解是否符合题意，从而可以找到符合题意的数列

解答：解：若等差数列{a_n}满足Sk3=(Sk)3
则当k=1时，有s₁=s₁³，∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1
当k=2时，有s₈=s₂ ³，即8a1+

8×7

2

d=(2a1+d)3
（1）当a₁=0时，代入上式得d=0或d=2

7

或d=-2

7

①当a₁=0，d=0时，a_n=0，S_n=0
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：0，0，0…
②当a1=0，d=2

7

时，an=2

7

(n-1)，Sn=

2 7 n(n-1)

2

=

7

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不满足题意
③当a1=0，d=-2

7

时，an=-2

7

(n-1)，Sn=

-2 7 n(n-1)

2

= -

7

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不满足题意
（2）当a₁=1时，代入上式得d=0或d=2或d=-8
①当a₁=1，d=0时，a_n=1，S_n=n
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：1，1，1…
②当a₁=1，d=2时，a_n=2n-1，Sn=n2
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：1，3，5…
③当a₁=1，d=-8时，a_n=-8n+9，S_n=n（5-4n）
S27≠(S3)3
∴不满足题意
（3）当a₁=-1时，代入上式得d=0或d=-2或d=8
①当a₁=-1，d=0时，a_n=-1，S_n=-n
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：-1，-1，-1…
②当a₁=-1，d=-2时，a_n=-2n+1，Sn=-n2
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：-1，-3，-5…
③当a₁=-1，d=8时，a_n=8n-9，S_n=n（4n-5）
S27≠(S3)3
∴不满足题意
∴满足题意的等差数列{a_n}有：
①0，0，0…
②1，1，1…
③1，3，5…
④-1，-1，-1…
⑤-1，-3，-5…

点评：本题考查等差数列通项公式和前n项和的计算，要注意分类讨论．属中档题