Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若数列首项为a1=

3

2

，公差d=1，求满足S_k²=（S_k）²的正整数k的值；
（2）若S_n=n²，求通项a_n；
（3）求所有无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有S_k²=（S_k）²成立．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到 Sk2=(Sk)2求得k．
（2）利用n≥2时a_n=s_n-s_n-1求通项公式，但注意n=1时，也符合上式，即可求出通项公式．
（3）设数列{a_n}的公差为d，在 Sn2=(Sn)2中分别取k=1，2求得a₁，代入到前n项的和中分别求得d，进而对a₁和d进行验证，最后综合求得答案．

解答：解：（1）当 a1=

3

2

，d=1时，Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

3

2

n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2+n
∴

1

2

k4+k2=(

1

2

k2+k) 2
整理得k3(

1

4

k-1)=0
∴k=0或k=4
又∵k≠0，
∴k=4．
（2）当n=1时，s¹=a₁=1
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n-1
a₁也符合上式
∴a_n=2n-1
（3）设数列{a_n}的公差为d，则在 Sn2=(Sn)2中分别取k=1，2，由（1）得a₁=0或a₁=1．
当a₁=0时，代入（2）得d=0或d=6，
若a₁=0，d=0，则a_n=0，S_n=0，从而S_k=（S_k）²成立
若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），由S₃=18，（S₃）²=324，S_n=216知s₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意．
当a₁=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）²，解得d=0或d=2
若a₁=1，d=0，则a_n=1，S_n=n，从而 Sk2=(Sk)2成立；
若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=1+3+…+（2n-1）=n²，从而S=（S_n）²成立
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
∴a_n=0，a_n=1，a_n=2n-1．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生综合分析问题，归纳推理，创造性思维的能力．属中档题．