题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线方程为
,求
的值;
(2)当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)先求导,再求为切线的斜率,写出切线方程,与已知对应相等,可求得a,b.
(Ⅱ)方法一:构造,
问题转化为在
上恒成立,即
,
求导对a分类讨论,将导数为0的根与给定区间端点比较,从而求得g(x)的最小值,解得a的范围.
方法二:直接分离变量得恒成立,令
,
,求导求得
最小值即可.
(Ⅰ)
由已知得,
, 切线方程为y-a=
,即y=2ax+a,所以有2a=3,b=a,
从而.
(Ⅱ)方法一:令,
问题转化为在
上恒成立,
即,
,
①若,则
,
在
上单调递减,
又,不合题意,舍去.
②若,则由
及
,得
.
当时,
;当
时,
,
故在
单调递减,在
单调递增.
所以当时,
取得极小值,即为最小值,
,
由,解得
③若,
在
上恒成立,
所以在
上单调递增,
所以,满足题意.
综上,的取值范围为
.
方法二:由已知得:当时,
恒成立,
问题转化为:当时,
令,
则,
由及
,得
.
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
所以,当时,
所以.即
的取值范围为
.
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