Question

18．已知椭圆C₁与双曲线C₂的公共焦点F₁，F₂，点P是曲线C₁与C₂的一个交点，并且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分别是椭圆和双曲线的离心率，则4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，再利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90°，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
将④代入③得a²+m²=2c²，可得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，
∴4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$）（4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{{{e}_{2}}^{2}}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{4{{e}_{1}}^{2}}{{{e}_{2}}^{2}}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e₁与双曲线心率e₂满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．