Question

如下图所示，已知两个正四棱锥P—ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4.

（1）证明PQ⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AQ与PB所成的角；

（3）求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

（1）证明1：连结AC、BD，设AC∩BD=O，由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（2）解法1：由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（1），QO⊥平面ABCD，故可分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，-2），B（0，，0）.

所以=（，0，-2）;

=（0，，-1）.

于是cos＜,＞==.

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

（3）解法1：由（2），点D的坐标是（0，-，0），

=（-，-，0），

=（0，0，-3），设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，由

得

取x=1,得n=（1，-1，-）.

所以点P到平面QAD的距离d=.

（1）证明2：取AD的中点M，连结PM、QM，因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥，

所以AD⊥PM，AD⊥QM，从而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理，PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD

（2）解法2：连结AC、BD.

设AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上.

从而P、A、Q、C四点共面.

取OC的中点N，连结PN,

因为.

从而AQ∥PN，∠BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.

连结BN.

因为PB=，

PN=，

BN=

所以cosBPN=.

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

（3）解法2：由（1）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM.

过P作PH⊥QM于H，则PH⊥平面QAD，

所以PH的长为点P到平面QAD的距离.

连结OM，因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°,

又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=,即点P到平面QAD的距离是.