Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）在一个周期内的图象如下图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的图象得到三角函数的振幅与半个周期，根据函数的图象过点的坐标，代入解析式求出初相，得到函数的解析式．
（2）根据正弦曲线的单调区间，把三角函数的角的值代入求出x的范围，就是要求的三角函数的单调区间．
（3）根据方程有两个不同的根，即直线y=m与三角函数的图象有两个不同的交点，根据图象可以得到-2＜m＜1或1＜m＜2．

解答：解：（1）根据图象可以看出A=2，

T

2

=

11π

12

-

5π

12

=

π

2

∴T=π，ω=2，
∵函数的图象过点（

2π

12

，2）
代入三角函数的解析式得到φ=

π

6

∴函数的解析式是f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）根据正弦曲线可以看出2x+

π

6

∈ [2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]时，函数单调递增，
∴2x∈ [2kπ-

π

6

-

π

2

，2kπ-

π

6

+

π

2

]
∴单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z．
（3）∵方程f（x）=m有两个不同的实数根
当0＜x＜π时，
2x+

π

6

∈ [

π

6

，

13π

6

]
方程有两个不同的根，即直线y=m与三角函数的图象有两个不同的交点
根据图象可以得到-2＜m＜1或1＜m＜2．

点评：本题考查三角函数的解析式的确定和正弦函数的单调性以及直线与三角函数图象的交点的问题，不同解题的关键是做出正确的函数的解析式，本题是一个中档题目．