Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

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，则下列结论中错误的是

 

．
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A-BEF的体积为定值；
④异面直线AE，BF所成的角为定值．

Answer 1

分析：通过直线AC垂直平面平面BB₁D₁D，判断①是正确的；通过直线EF平行直线AB，判断EF∥平面ABCD②是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明③是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断④是不正确的；综合可得答案．

解答：解：∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D
∴AC⊥BE．故①正确．
∵B₁D₁∥平面ABCD，又E、F在直线D₁B₁上运动，
∴EF∥平面ABCD．故②正确．
③中由于点B到直线B₁D₁的距离不变，故△BEF的面积为定值．
又点A到平面BEF的距离为

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，故V_A-BEF为定值．③正确
当点E在D₁处，F为D₁B₁的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OD₁A，
当E在上底面的中心时，F在B₁的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OEA，
显然两个角不相等，④不正确．
故答案为：④

点评：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．