题目内容
【题目】
已知双曲线
设过点
的直线l的方向向量
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2） 证明：当
>
时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为
.
【答案】（1）
，
（2）见解析
【解析】
⑴中知道双曲线的方程可以求出渐近线方程，因为直线l和渐近线平行，所以可以确定l的方程，直线l与m方程确定，可以利用两条平行线间的距离公式求出距离.⑵是一个存在性问题，可以寻找参考对象，也可用反证法.
（1）双曲线C的渐近线
，即
…… 2分
直线
的方程…… 6分
直线与m的距离
…… 8分
（2）
设过原点且平行于的直线
则直线与
的距离
，
当
时，
. …… 12分
又双曲线C的渐近线为，
双曲线C的右支在直线的右下方，
双曲线C的右支上的任意点到直线的距离大于.
故在双曲线C的右支上不存在点Q
到到直线的距离为…… 16分
假设双曲线C右支上存在点Q到到直线的距离为，
则
， （1）由（1）得
， …… 11分
设
当时，
：
…… 13分
将
代入（2）得
，
，
故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为…… 16分
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