Question

【题目】π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）= 的单调区间；
（2）求e3 ， 3e ， eπ ， πe ， 3π ， π3这6个数中的最大数和最小数；
（3）将e3 ， 3e ， eπ ， πe ， 3π ， π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f（x）= ，∴f′（x）= ，

当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；

当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．

故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．

（2）解：∵e＜3＜π，

∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．

于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，

故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．

由e＜3＜π及（1）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即 ，

由 ，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；

由 ，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．

综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．

（3）证明：由（2）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，

又由（2）知， ，得πe＜eπ，

故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．

由（1）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）= ，即 ．

在上式中，令x= ，又 ，则ln ＜ ，

从而2﹣lnπ ，即得lnπ ．①

由①得，elnπ＞e（2﹣ ）＞2.7×（2﹣ ）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，

∴e3＜πe．

又由①得，3lnπ＞6﹣ ＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，

∴eπ＜π3．

综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．

【解析】（1）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（2）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe ， lneπ＜ln3π ． 再根据函数y=lnx，y=ex ， y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3 ， e3＜eπ＜3π ， 从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（1）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即 ，由此进而得到结论；（3）由（2）可知，3e＜πe＜π3＜3π ， 3e＜e3 ， 又由（2）知， ，得πe＜eπ ， 故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（1）可得0＜x＜e时， ，令x= ，有ln ＜ ，从而2﹣lnπ ，即得lnπ ．①，由①还可得lnπe＞lne3 ， 3lnπ＞π，由此易得结论；
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．