题目内容

4.已知cosα=$\frac{1}{7}$,cos(α-β)=$\frac{13}{14}$,且0<β<α<$\frac{π}{2}$,
(1)求tan2α的值;
(2)求β.

分析 (1)由条件利用同角三角函数的基本关系,求得tanα的值,再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.
(2)由条件求得sin(α-β)的值,利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[α-(α-β)]的值,从而求得β的值.

解答 解:(1)由cosα=$\frac{1}{7}$,0<β<α<$\frac{π}{2}$,可得sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=4$\sqrt{3}$,
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{8\sqrt{3}}{1-48}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$.
(2)由cosα=$\frac{1}{7}$,cos(α-β)=$\frac{13}{14}$,且0<β<α<$\frac{π}{2}$,可得sin(α-β)=$\sqrt{{1-cos}^{2}(α-β)}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=$\frac{1}{7}×\frac{13}{14}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$,
∴β=$\frac{π}{3}$.

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的余弦公式、二倍角的正切公式的应用,属于基础题.

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