题目内容

解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,

(1)

证明:C1CBD

(2)

假定CD=2,CC1,记面C1BDα,面CBDβ,求二面角αBD?I>β的平面角的余弦值

(3)

的值为多少时,可使A1C⊥面C1BD

答案:
解析:

(1)

证明连结A1C1ACACBD交于点O,连结C1O

∵四边形ABCD是菱形,∴ACBDBCCD

又∵∠BCC1=∠DCC1C1C是公共边,∴△C1BC≌△C1DC,∴C1BC1D

DOOB,∴C1OBD,但ACBDACC1OO

BD⊥平面AC1,又C1C平面AC1,∴C1CBD………………………4分

(2)

由1知ACBDC1OBD

∴∠C1OC是二面角αBD?I>β的平面角

在△C1BC中,BC=2,C1C,∠BCC1=60°,

C1B2=22+()2-2×2××cos60°=

∵∠OCB=30°,∴OBBC=1,C1O,即C1OC1C

C1HOC,垂足为H,则HOC中点且OH,∴cosC1OC……8分

(3)

由1知BD⊥平面AC1,∵A1O平面AC1,∴BDA1C,当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形,同理可证BC1A1C,又∵BDBC1B,∴A1C⊥平面C1BD………………12分


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