Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若点M在线段EF上运动，设平MAB与平FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在梯形ABCD中，由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，推导出AB²=AC²+BC²，BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，能证明BC⊥平面ACFE．
（2）取FB中点G，连接AG，CG，由AF=

AC2+CF2

=2，知AB=AF，AG⊥FB，由CF=CB=1，CG⊥FB，∠AGC=θ，由此能求出二面角A-BF-C的平面角的余弦值．
（3）由点M在线段EF上运动，分当M与F重合，M与E重合时，当M与E，F都不重合三种情况进行分类讨论，能求出cosθ的取值范围．

解答：（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，
平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）解：取FB中点G，连接AG，CG，
∵AF=

AC2+CF2

=2，∴AB=AF，∴AG⊥FB，
∵CF=CB=1，∴CG⊥FB，∴∠AGC=θ，
∵BC=CF，∴FB=

2

，∴CG=

2

2

，AG=

14

2

，
∴cosθ=

CG2+AG2-AC2

2CG•AG

=

7

7

．
（3）解：由（2）知：
①当M与F重合时，cosθ=

7

7

．
②当M与E重合时，过B作BN∥CF，且使BN=CF，
连接EN，FN，则平面MAB∩平面FCB，
∵BC⊥CF，AC⊥CF，∴CF⊥平面ABC，∴BN⊥平面ABC，
∴∠ABC=θ，∴θ=60°，∴cosθ=

1

2

．
③当M与E，F都不重合时，令FM=λ，0＜λ＜

3

，
延长AM交CF的延长线于N，连接BN，
∴N在平面MAB与平面FCB的交线上，
∵B在平面MAB与平面FCB的交线上，
∴平面MAB∩平面FCB=BN，
过C作CH⊥NB交NB于H，连接AH，
由（1）知，AC⊥BC，
又∵AC⊥CN，∴AC⊥平面NCB，∴AC⊥NB，
又∵CH⊥NB，AC∩CH=C，∴NB⊥平面ACH，
∴AH⊥NB，∴∠AHC=θ，
在△NAC中，NC=

3

3 -λ

，
从而在△NCB中，CH=

3

(λ- 3 )2+3

，
∵∠ACH=90°，∴AH=

AC2+CH2

=

3 • (λ- 3 )2+4

(λ- 3 )2+3

，
∴cosθ=

CH

AH

=

1

(λ- 3 )2+4

，
∵0＜λ＜

3

，
∴

7

7

＜cosθ＜

1

2

，
综上所述，cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．