Question

11．若函数f（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，f₁（x）=f（x），且f_n（x）=$\frac{f（f（f…f（x））…）}{n个f}$，则f₉₉（x）的值域是（$-\frac{\sqrt{11}}{33}$，$\frac{\sqrt{11}}{33}$）．

Answer 1

分析 先来求f₁（x）的值域：x=0时，会得到f（0）=0；x＞0时，可将f（x）变为$f（x）=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}$，由$\frac{1}{{x}^{2}}+1＞1$便可得到0＜f（x）＜1；同样的方法可得到x＜0时，-1＜f（x）＜0，从而得出f₁（x）∈（-1，1）．而f₂（x）中的x∈（-1，1），同求f₁（x）值域的方法可求出${f}_{2}（x）∈（-\frac{1}{\sqrt{2}}，\frac{1}{\sqrt{2}}）$，从而便可得出${f}_{99}（x）∈（-\frac{1}{\sqrt{99}}，\frac{1}{\sqrt{99}}）$．

解答 解：（1）①x=0时，f（0）=0；
②x＞0时，f（x）=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}$；
$\frac{1}{{x}^{2}}＞0$；
∴$\frac{1}{{x}^{2}}+1＞1$；
∴$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}＞1$；
∴0＜f（x）＜1；
③x＜0时，f（x）=$-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}$；
∴-1＜f（x）＜0；
∴f₁（x）的值域为（-1，1）；
（2）f₂（x）中的x为f（x）的函数值，∴x∈（-1，1）；
∴①x=0时，f₂（0）=0；
②0＜x＜1时，${f}_{2}（x）=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}$；
x²＜1；
∴$\frac{1}{{x}^{2}}+1＞2$；
∴$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}＞\sqrt{2}$；
∴${0＜f}_{2}（x）＜\frac{1}{\sqrt{2}}$；
③-1＜x＜0时，$-\frac{1}{\sqrt{2}}＜{f}_{2}（x）＜0$；
∴$-\frac{1}{\sqrt{2}}＜{f}_{2}（x）＜\frac{1}{\sqrt{2}}$；
∴以此会发现，f₁（x）∈$（-\frac{1}{\sqrt{1}}，\frac{1}{\sqrt{1}}）$，${f}_{2}（x）∈（-\frac{1}{\sqrt{2}}，\frac{1}{\sqrt{2}}）$；
∴会得到${f}_{99}（x）∈（-\frac{1}{\sqrt{99}}，\frac{1}{\sqrt{99}}）=（-\frac{\sqrt{11}}{33}，\frac{\sqrt{11}}{33}）$；
∴f₉₉（x）的值域为：$（-\frac{\sqrt{11}}{33}，\frac{\sqrt{11}}{33}）$．
故答案为：（$-\frac{\sqrt{11}}{33}，\frac{\sqrt{11}}{33}$）．

点评 考查函数值域的概念，要弄清f（x），和f（f（x））的关系，根据不等式的性质求函数的值域，注意x＞0和x＜0时的不同，遇到这种题要想着找规律的方法．