Question

19、设函数f（x）=ax³+bx+cx+d的图象与y轴的交点为点P，且曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试求函数的单调区间．

Answer 1

分析：根据切点既在切线上又在函数f（x）的图象上，即可求出d，根据导数的几何意义可知函数在x=0处的导数即为切线的斜率，求出c，再根据函数在x=2处取得极值0，建立f'（2）=0，f（2）=0，求出a和b，从而求出函数f（x）的解析式，最后解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间．

解答：解：∵点P在切线12x-y-4=0上，∴P（0，-4），∴d=-4．
f'（x）=3ax²+2bx+c，∴f'（0）=12，∴c=12．（4分）
又f'（2）=0，f（2）=0，得a=2，b=-9．（6分）
f（x）=2x³-9x²+12x-4，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），（8分）
f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和单调性等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．