题目内容

关于函数f（x）=（x2-2x-3）ex，给出下列四个判断：
①f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}；
②f（x）有极小值也有极大值；
③f（x）无最大值，也无最小值；
④f（x）有最大值，无最小值．
其中判断正确的是（　　）
分析：①解不等式即可，要注意ex＞0．②利用导数判断极值情况．③由函数的极值去判断函数的最值情况．④由函数的极值去判断函数的最值情况．
解答：解：①因为ex＞0，所以由f（x）＜0得）=（x2-2x-3）ex＜0，即x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，即f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}，所以①正确．
②函数的导数为f'（x）=（2x-2）ex+（x2-2x-3）ex=（x2-5）ex，由f'（x）＞0，得x＞
5
或x＜-
5
．由f'（x）＜0得-
5
＜x＜
5
，
所以当x=
5
时函数取得极小值．当x=-
5
时函数取得极大值．所以②正确．
③由②知，当x＞
5
或x＜-
5
时，函数单调递增，所以f（x）无最大值，也无最小值．所以③正确．
④由③知f（x）无最大值，也无最小值，所以④错误．
所以判断正确的是①②③．
故选A．
点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值和最值问题．要熟练掌握导数符号与极值和最值之间的对应关系．
练习册系列答案
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8、定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=10x-1，下面关于函数f（x）的判断：
①当x∈[-1，0]时，f（x）=10-x-1；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③对任意x1，x2∈（1，2），满足（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＜0；
④当x∈[2k，2k+1]，k∈Z时，f（x）=10x-2k-1．其中正确判断的个数为（　　）
关于函数f（x）=lg
x
x2+1
，有下列结论：①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的最小值为-lg2；④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A、①②③B、①③④
C、①④D、②③
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，
1
2
]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=
k
2
(k∈Z)对称；
③函数y=f（x）是偶函数；
④函数y=f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是增函数． 其中正确的命题的序号是
①②③
①②③
．
关于函数f（x）=cos4x-sin4x有下面有五个命题，其中真命题的序号是
①②
①②
．①最小正周期是π；    ②向右平移
π
4
可以得到y=sin2x的图象；③在[0，
π
2
]上是增函数； ④同一坐标系中，和函数y=x的图象有三个公共点．
（2009•奉贤区二模）关于函数f（x）=xarcsin2x有下列命题：①f（x）的定义域是R；②f（x）是偶函数；③f（x）在定义域内是增函数；④f（x）的最大值是
π4
，最小值是0．其中正确的命题是
②④
②④
．（写出你所认为正确的所有命题序号）

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