Question

在数列{a_n}中，已知．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）∵．
∴…．（1分）
…（2分）
…（3分）
由此猜想数列{a_n}的通项公式…..（5分）
（2）下面用数学归纳法证明
①当n=1时，，猜想成立…..（6分）
②假设当n=k（k∈N⁺，k≥1）猜想成立，即…．（7分）
∵．…（8分）
∴…（12分）
即当n=k+1时猜想也成立…..（13分）
根据①和②，可知猜想对任何n∈N⁺都成立…..（14分）
（用其他方法正确证明也给分）
分析：（1）利用，n分别取2，3，4，可求出a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明：①，猜想成立；②假设当n=k时成立，利用，可证得当n=k+1时猜想也成立，故可得结论．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明．