Question

如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为(

3

5

，

4

5

)，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜

2π

3

），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．

解答：解：（1）∵△ABO为正三角形
∴∠BOA=60°
∵点A的坐标为(

3

5

，

4

5

)
∴tan∠AOC=

4

3

，
∴sin∠AOC=

4

5

，cos∠AOC=

3

5

∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°=

3-4 3

10

；

（2）由余弦定理可知AC=

1+1-2cosx

=2sin

x

2

，BD=

1+1-2cos(π-x- π 3 )

=2sin（

π

3

-

x

2

），
AB=OB=1，CD=2，
∴y=2sin

x

2

+2sin(

π

3

-

x

2

)+3
=2sin

x

2

+

3

cos

x

2

-sin

x

2

+3
=sin

x

2

+

3

cos

x

2

+3
=2sin(

x

2

+

π

3

)+3，0＜x＜

2π

3

∴当x=

π

3

时，y_max=5

点评：本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．