Question

如图：A、B是单位圆上的动点，C是单位圆与x轴正半轴的交点，
且∠AOB=

π

6

，记∠COA=θ，θ∈（0，π），△AOC的面积为S．
（Ⅰ）设（θ）=OB→•OC→+2S，求f（θ）的最大值以及此时θ的值；
（Ⅱ）当A点坐标为(-

3

5

，

4

5

)时，求|

BC

|2的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形面积公式可知S=

1

2

sinθ，用θ分别表示出

OB

和

OC

，根据f(θ)=

OB

•

OC

+2S，θ的范围求得函数的最大值．
（2）由题意可知cosθ与sinθ，由∠BOC=θ+

π

6

，根据余弦定理即可求得答案．

解答：解：（1）根据三角形面积公式可知S=

1

2

sinθ，

OB

=(cos(θ+

π

6

)，sin(θ+

π

6

))，

OC

=(1，0)
则f(θ)=

OB

•

OC

+2S=cos(θ+

π

6

)+sinθ=sin(θ+

π

3

)
∵θ∈（0，π），故θ=

π

6

时，f（θ）_max=1；
（2）由题意，cosθ=-

3

5

，sinθ=

4

5

，在△BOC中，∠BOC=θ+

π

6

，由余弦定理得：|

BC

|2=1+1-2×1×1×cos(θ+

π

6

)=2-

3

cosθ+sinθ=

14+3 3

5

．

点评：本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是解三角形问题的常用方法，要熟练掌握余弦定理及其变式的应用．