Question

如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为（1，0），∠BOA=60°，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA₁⊥y轴于A₁，过点B作BB₁⊥y轴于B₁．
（1）求经过1秒后，∠BOA的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记A₁B₁的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）只要先求A，B运动所形成的角即可求解∠BOA
（2）根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据三角函数的定义此点的坐标，利用弧长公式可求
（3）由题意可得，y=|sin（t+

π

3

）-sin（-t）|=|

3

2

sint+

3

2

cost|，利用辅助角公式及正弦函数的性质可求

解答：解（1）经过1秒后A运动的角度为1，B运动的角度为-1
∴∠BOA=

π

3

+2（2分）
（2）设A、B第一次相遇时所用的时间是t，
则2t+

π

3

=2π．（4分）
∴t=

5π

6

（秒），即第一次相遇的时间为

5π

6

秒．（6分）
（3）由题意可得，y=|sin（t+

π

3

）-sin（-t）|=|

3

2

sint+

3

2

cost|（8分）
=

3

|sin(t+

π

6

)|（10分）
当t+

π

6

=kπ+

π

2

即t=kπ+

π

3

，k∈Z时，（12分）
ymax=

3

（14分）

点评：本题考查了圆周运动的问题，认真分析题意列出方程，即第一次相遇时两个动点走过的弧长和是圆周，这是解题的关键，考查了分析和解决问题的能力．