Question

【题目】以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间[-M，M]。例如，当， 时， ，现有如下命题：

①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；

②若函数，则有最大值和最小值；

③若函数， 的定义域相同，且， ，则

④若函数，则有最大值且，

其中的真命题有_____________。（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】对于①，若f（x）∈A，则f（x）的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）=b，故①正确；

对于②，取函数f（x）=x（﹣1＜x＜1），其值域为（﹣1，1），于是，存在M=1，使得f（x）的值域包含于[﹣M，M]=[﹣1，1]，但此时f（x）没有最大值和最小值，故②错误；

对于③，当f（x）∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）=b，

∴当g（x）∈B时，对于函数f（x）+g（x），如果存在一个正数M，使得f（x）+g（x）的值域包含于[﹣M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f（a0）=b﹣g（a0），即f（a0）+g（a0）=b0[﹣M，M]，故③正确；

此时f（x）= （x＞﹣2），易知f（x）∈[﹣ ， ]，∴存在正数M=，使得f（x）∈[﹣M，M]，故④正确；

故答案为：①③④。