题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且上焦点为
,过
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点.设点
,记
、
的斜率分别为
和
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如果直线的斜率等于
,求
的值;
(3)探索是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出
的取值范围.
【答案】(1)(2)2(3)
为定值,且定值为2.
【解析】试题分析:(1)先根据离心率以及焦点坐标列方程组,解得(2)先设
、
,利用斜率公式化简
得
,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简得
的值;(3)设直线
:
,同(2)化简
得
,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简得定值,最后验证斜率不存在情况也满足
试题解析:解:(1),
,
,
椭圆方程为
.
(2)因为直线的斜率等于
,且经过焦点F,
所以直线,
设、
,
由消
得
,
则有,
.
所以.
(3)当直线的斜率不存在时,
,
,
则,
,故
.
当直线的斜率存在时,设其为
,
则直线:
,
设,
,
由消
得
,
则有,
.
所以
.
所以为定值,且定值为2.
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练习册系列答案
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【题目】2015 年 12 月,华中地区数城市空气污染指数“爆表”,此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程,为了探究车流量与的浓度是否相关,现采集到华中某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与
的数据如表:
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
车流量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散点图知与
具有线性相关关系,求
关于
的线性回归方程;(提示数据:
)
(2)利用(1)所求的回归方程,预测该市车流量为 12 万辆时的浓度.
参考公式:回归直线的方程是,
其中.